2. Funções Exponenciais na Modelação

Exemplo 1 - Crescimento Exponencial de Bactérias.

Uma população de bactérias aumenta 50% em cada dia. Se no início da contagem havia 1 milhão de bactérias, quantas haverá ao fim de t dias?

Ao fim de 1 dia                                      1 + 0,5 = 1,5
Ao fim de 2 dias                                     1,5 + 0,5 x 1,5 = 1,5 (1 + 0,5) = 1,5^2
Ao fim de 3 dias                                     1,5 + 0,5 x 1,5^2 = 1,5^2 (1 + 0,5) = 1,5^3

Ao fim de t dias                                      1,5^t

Vemos que o número de milhões de bactérias, ao fim de t dias, é dado por uma potência de expoente variável (exponencial): 1,5^t

Esta função exponencial exprime o número de bactérias existentes ao fim de t dias:
f: lR  ---> lR+
      t ---> 1,5^t

Função exponencial com base > 1:

- Estritamente crescente;

- t --> + ∞,  1,5^t --> + ∞

Gráfico da função:

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Exemplo 2 - Juros Compostos.

Fórmula para o calculo do capital acumulado ao fim de n anos por um depósito, em regime de juros compostos, a uma taxa de juro anual de r%:

C0 - Capital inicial
n ∈ N - Número de anos

Cn é uma sucessão que se designa por progressão geométrica.

Supondo que uma certa instituição bancária pratica um juro de 2,3% ao ano. Escreve uma expressão que permita calcular o capital acumulado por 1000eur ao fim de um período x, expresso em anos, e calcula o valor do capital ao fim de 39 meses. 

i) Função que permite calcular o montante capital ao fim de x anos

Como 

r = 2,3%           (taxa de juro anual)

C0 = 1000       (capital inicial)

Função que permite calcular o montante capital ao fim de x anos:

C(x) = 1000 * 1,023^x    com x ∈lR0+

ii) Valor do capital ao fim de 39 meses

12 meses  ---  1

39 meses  ---  x          x = 3,25 anos

Capital acumulado ao fim de 39 meses:

C(3,25) = 1000 * 1,023^3,25  =  1076,70 eur

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Exemplo 3 - Número de Nepper

Um petroleiro que navegava no oceano Atlântico encalhou numa rocha e sofreu um rombo no casco. Em consequência disso começou a derramar crude.

Admite que às t horas do dia seguinte ao do acidente, a área, em Km^2, de crude espalhado sobre o oceano é dada por:

a) Supondo que a mancha de crude é circular, determina o raio da mancha ao meio-ia do dia seguinte ao do acidente, aproximado ao metro. 

com t = 12

Área da mancha de crude ao meio-dia do dia seguinte:

Como A(circulo) = π * r^2

Raio da mancha de crude ao meio-dia do dia seguinte:

b) Verifica que é constante para qualquer t:

Logo, 

Podemos ainda concluir que:

A (t + 1) = 1,1 A(t) = A(t) + 0,1 A(t)

Significa que a mancha de crude aumenta 10% em cada hora.

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Exemplo 4 - Desintegração Radioactiva. 

Massa de Substância presente numa amostra:

i )  t ∈ lR+  -  tempo em anos

     Q  -  massa em miligramas

     Q0  -  massa inicial

ii) Como a função tem de ser decrescente (porque estamos a falar de um decaimento radioactivo), k ∈ lR+

é uma função decrescente pq (1 / e^k) < 1.

iii) Massa de substância radioactiva ao fim de 6 meses para Q = 600 * e^(-0,075 * t):

Q(0,5) = 600 * e^(-0,075 * 0,5)  =  578 mg

iv) Gráfico de Q = 600 * e^(-0,075 * t) para t ∈[0,50]:

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Exemplo 5 - Lei do Arrefecimento de Newton.

A temperatura C (ºC) de um objecto, previamente aquecido, decresce em função do tempo t decorrido:

t, C0 e k ∈ lR+

i) C  -  temperatura final do objecto

    t  -    tempo decorrido

    C0  -  temperatura inicial do objecto 

ii) Lei de Newton para C0 = 70ºC,    T = 20ºC,   k = 0,05. 

C(t) = 20 + (70 - 20) e^(-0,05t)

C(t) = 20 + 50 e^(-0,05t)

Evolução da temperatura alo longo de uma hora:

Evolução da temperatura alo longo de duas horas:

Os gráficos sugerem que C se aproima de 20 à medida que o tempo t avança.

 t  -->  + ∞,      C(t) = T

Ao fim de muito tempo a temperatura do objecto tende a igualar T. Logo T é a temperatura ambiente.

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Exemplo 6 - Regressão com calculadora.

Um líquido foi aquecido e até entrar em ebulição (100ºC) e depois deixou-se arrefecer numa cozinha onde a temperatura do ar era 20ºC.

Tabela com a temperatura do líquido tomadas de 5 em 5 minutos durante meia hora.

Utiliza a calculadora para obter uma expressão para C(t), temperatura do líquido ao fim de t minutos.

Vamos utilizar a regressão exponencial:  y = a e^bx

Tabela com os valores C(t) - 20   (20ºC é a temperatura ambiente na cozinha)

Introduzindo os valores no modo estatístico:

Então,   

y = a e^bx

y = 80 e^0,06t

C(t) = 20 + 80 e^0,06t

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Exemplo 7 - Crescimento Exponencial.

Chegaram a uma ilha 8 coelhos que se reproduziram exponencialmente.  Passado algum tempo haviam 4500 coelhos, três meses depois realizou-se nova contagem que deu 9900 coelhos.

i) Fórmula que traduz o crescimento desta população de coelhos.

Crescimento Exponencial:  y = c * a^t

t = 0   --->   y0 = 8                          y0 = c * a^0         c = 8

t = t   --->   y1 = 4500                     y1 = 8 * a^t

t = t + 3   --->   y2 = 9900               y2 = 8 * a^t+3

Modelo que traduz o crescimento exponencial dos coelhos:

y = 8 * 1,3^t                  t - tempo em meses

ii) Quanto tempo passou desde a chegada dos coelhos até à primeira contagem

y(t) = 8 * 1,3^t =  4500                    

8 * 1,3^t = 4500

1,3^t = 4500 / 8

1,3^t = 562,2

Como,

Como as funções exponenciais de base maior que 1 são crescentes, a solução da equação

1,3^t = 562,2 é um valor entre 24,1 e 24,2 meses, ou seja, a primeira contagem dos coelhos foi feita, aproximadamente, dois anos depois da chegada dos coelhos à ilha.