Exemplo 1 - Crescimento Exponencial de Bactérias.
Uma população de bactérias aumenta 50% em cada dia. Se no início da contagem havia 1 milhão de bactérias, quantas haverá ao fim de t dias?
Ao fim de 1 dia 1 + 0,5 = 1,5
Ao fim de 2 dias 1,5 + 0,5 x 1,5 = 1,5 (1 + 0,5) = 1,5^2
Ao fim de 3 dias 1,5 + 0,5 x 1,5^2 = 1,5^2 (1 + 0,5) = 1,5^3
Ao fim de t dias 1,5^t
Vemos que o número de milhões de bactérias, ao fim de t dias, é dado por uma potência de expoente variável (exponencial): 1,5^t
Esta função exponencial exprime o número de bactérias existentes ao fim de t dias:
f: lR ---> lR+
t ---> 1,5^t
Função exponencial com base > 1:
- Estritamente crescente;
- t --> + ∞, 1,5^t --> + ∞
Gráfico da função:
__________________________________________________________________
Exemplo 2 - Juros Compostos.
Fórmula para o calculo do capital acumulado ao fim de n anos por um depósito, em regime de juros compostos, a uma taxa de juro anual de r%:
C0 - Capital inicial
n ∈ N - Número de anos
Cn é uma sucessão que se designa por progressão geométrica.
Supondo que uma certa instituição bancária pratica um juro de 2,3% ao ano. Escreve uma expressão que permita calcular o capital acumulado por 1000eur ao fim de um período x, expresso em anos, e calcula o valor do capital ao fim de 39 meses.
i) Função que permite calcular o montante capital ao fim de x anos
Como
r = 2,3% (taxa de juro anual)
C0 = 1000 (capital inicial)
Função que permite calcular o montante capital ao fim de x anos:
C(x) = 1000 * 1,023^x com x ∈lR0+
ii) Valor do capital ao fim de 39 meses
12 meses --- 1
39 meses --- x x = 3,25 anos
Capital acumulado ao fim de 39 meses:
C(3,25) = 1000 * 1,023^3,25 = 1076,70 eur
__________________________________________________________________
Exemplo 3 - Número de Nepper
Um petroleiro que navegava no oceano Atlântico encalhou numa rocha e sofreu um rombo no casco. Em consequência disso começou a derramar crude.
Admite que às t horas do dia seguinte ao do acidente, a área, em Km^2, de crude espalhado sobre o oceano é dada por:
a) Supondo que a mancha de crude é circular, determina o raio da mancha ao meio-ia do dia seguinte ao do acidente, aproximado ao metro.
com t = 12
Área da mancha de crude ao meio-dia do dia seguinte:
Como A(circulo) = π * r^2
Raio da mancha de crude ao meio-dia do dia seguinte:
b) Verifica que é constante para qualquer t:
Logo,
Podemos ainda concluir que:
A (t + 1) = 1,1 A(t) = A(t) + 0,1 A(t)
Significa que a mancha de crude aumenta 10% em cada hora.
__________________________________________________________________
Exemplo 4 - Desintegração Radioactiva.
Massa de Substância presente numa amostra:
i ) t ∈ lR+ - tempo em anos
Q - massa em miligramas
Q0 - massa inicial
ii) Como a função tem de ser decrescente (porque estamos a falar de um decaimento radioactivo), k ∈ lR+
é uma função decrescente pq (1 / e^k) < 1.
iii) Massa de substância radioactiva ao fim de 6 meses para Q = 600 * e^(-0,075 * t):
Q(0,5) = 600 * e^(-0,075 * 0,5) = 578 mg
iv) Gráfico de Q = 600 * e^(-0,075 * t) para t ∈[0,50]:
__________________________________________________________________
Exemplo 5 - Lei do Arrefecimento de Newton.
A temperatura C (ºC) de um objecto, previamente aquecido, decresce em função do tempo t decorrido:
t, C0 e k ∈ lR+
i) C - temperatura final do objecto
t - tempo decorrido
C0 - temperatura inicial do objecto
ii) Lei de Newton para C0 = 70ºC, T = 20ºC, k = 0,05.
C(t) = 20 + (70 - 20) e^(-0,05t)
C(t) = 20 + 50 e^(-0,05t)
Evolução da temperatura alo longo de uma hora:
Evolução da temperatura alo longo de duas horas:
Os gráficos sugerem que C se aproima de 20 à medida que o tempo t avança.
t --> + ∞, C(t) = T
Ao fim de muito tempo a temperatura do objecto tende a igualar T. Logo T é a temperatura ambiente.
___________________________________________________
Exemplo 6 - Regressão com calculadora.
Um líquido foi aquecido e até entrar em ebulição (100ºC) e depois deixou-se arrefecer numa cozinha onde a temperatura do ar era 20ºC.
Tabela com a temperatura do líquido tomadas de 5 em 5 minutos durante meia hora.
Utiliza a calculadora para obter uma expressão para C(t), temperatura do líquido ao fim de t minutos.
Vamos utilizar a regressão exponencial: y = a e^bx
Tabela com os valores C(t) - 20 (20ºC é a temperatura ambiente na cozinha)
Introduzindo os valores no modo estatístico:
Então,
y = a e^bx
y = 80 e^0,06t
C(t) = 20 + 80 e^0,06t
_________________________________________________
Exemplo 7 - Crescimento Exponencial.
Chegaram a uma ilha 8 coelhos que se reproduziram exponencialmente. Passado algum tempo haviam 4500 coelhos, três meses depois realizou-se nova contagem que deu 9900 coelhos.
i) Fórmula que traduz o crescimento desta população de coelhos.
Crescimento Exponencial: y = c * a^t
t = 0 ---> y0 = 8 y0 = c * a^0 c = 8
t = t ---> y1 = 4500 y1 = 8 * a^t
t = t + 3 ---> y2 = 9900 y2 = 8 * a^t+3
Modelo que traduz o crescimento exponencial dos coelhos:
y = 8 * 1,3^t t - tempo em meses
ii) Quanto tempo passou desde a chegada dos coelhos até à primeira contagem
y(t) = 8 * 1,3^t = 4500
8 * 1,3^t = 4500
1,3^t = 4500 / 8
1,3^t = 562,2
Como,
Como as funções exponenciais de base maior que 1 são crescentes, a solução da equação
1,3^t = 562,2 é um valor entre 24,1 e 24,2 meses, ou seja, a primeira contagem dos coelhos foi feita, aproximadamente, dois anos depois da chegada dos coelhos à ilha.
